Analyse : continuité et dérivabilité

ANACD-1 Soit $ a $ et $ b $ deux nombres réels. On définit la fonction $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ par

\[ x \to \begin{cases} ax + b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{1 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]

1. Donner une condition sur $ b $ pour que $ f $ soit continue sur $ \mathbb{R} $.

2. Déterminer $ a $ et $ b $ tels que $ f $ soit dérivable sur $ \mathbb{R} $ et dans ce cas calculer $ f'(0) $.

solution

1. Si $ x \neq 0 $, $ f $ est continue.

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} ax + b = b = f(0) \] \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 + x} = 1 \]

Donc $ f $ est continue si et seulement si $ b = 1 $.

2. Si $ x \neq 0 $ alors $ f $ est dérivable. Si $ x \neq 0 $ :

Si $ x < 0 $ alors $ f'(x) = a $, si $ x > 0 $ alors $ f'(x) = \frac{-1}{(1 + x)^2} $ et

\[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{(1 + x)^2} = -1 \] \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) \iff -1 = a \]

Si $ b = 1 $ et si $ a = -1 $, alors $ f $ est continue en 0 et

\[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) \]

Donc $ f $ est dérivable en 0. Finalement, $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $.

ANACD-2 On considère l’application $ f : [-1,1] \to \mathbb{R} $, définie par : \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} \left( \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} \right), & \text{si } x \neq 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases} \]

1. Montrer que $ f $ est continue sur $ [-1,1] $.

2. Montrer que $ f $ est dérivable sur $ ]-1,1[ $ et déterminer $ f'(x) $ sur $ ]-1,1[ $.

3. Montrer que l’application dérivée $ f' : ]-1,1[ \to \mathbb{R} $ est continue sur $ ]-1,1[ $. Quel est l’ensemble des $ x \in ]-1,1[ $ pour lesquels $ f'(x) = 0 $ ?

4. Dresser le tableau de variation de $ f $ et tracer son graphe. En déduire que $ f $ est injective.

5. On désigne par $ g $ la bijection de $ [-1,1] $ sur $ f([-1,1]) $ définie par $ g(x) = f(x) $, pour tout $ x \in [-1,1] $, et on désigne par $ g^{-1} $ sa bijection réciproque. Justifier l’existence et déterminer $ (g^{-1})'(0) $.

solution

1. D'abord on peut vérifier que $ f $ est bien définie sur $ [-1,1] $, en effet \[ -1 \leq x \leq 1 \iff x^2 \leq 1 \iff 1 - x^2 \geq 0 \] Donc $ x \to \sqrt{1 - x^2} $ est bien définie sur $ [-1,1] $. Pour $ x \neq 0 $, $ f $ est continue, le problème est de savoir si $ f $ est continue en 0. Pour cela, il faut montrer que la limite de $ f $ en 0 vaut $ f(0) $, il s'agit d'une forme indéterminée. On peut penser à utiliser la règle de L'Hospital mais comme il y a des racines, on va plutôt utiliser l'expression conjuguée \[ \frac{1}{x} \left( \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} \right) = \frac{(1 + x^2) - (1 - x^2)}{x \left( \sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2} \right)} = \frac{2x^2}{x \left( \sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2} \right)} \] \[ = \frac{2x}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} \] Le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 2 donc \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} = 0 = f(0) \] Donc $ f $ est continue en 0 et donc sur $ [-1,1] $.

2. $ x \to \sqrt{1 - x^2} $ est dérivable sur $ ]-1,1[ $ donc $ f $ est dérivable sur $ ]-1,0[ \cup ]0,1[ $, il reste à montrer que $ f $ est dérivable en 0.

On calcule le taux de variation \[ \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{1}{x^2} \left( \sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2} \right) = \frac{(1 + x^2) - (1 - x^2)}{x^2 \left( \sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2} \right)} = \frac{2x^2}{x^2 \left( \sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2} \right)} \] \[ = \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} \] Donc \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} = 1 \] On en déduit que $ f $ est dérivable en 0 et que $ f'(0) = 1 $.

3. Pour montrer que $ f' $ est continue, c’est évident pour $ x \neq 0 $ et en 0 voir la deuxième méthode. \[ \forall x \in ]-1,0[ \cup ]0,1[, f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - x^4} (\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})} > 0 \quad \text{et} \quad f'(0) = 1 > 0 \] Il n’y a pas de $ x \in ]-1,1[ $ tel que $ f'(x) = 0 $.

4. $ f(-1) = -\sqrt{2} $ et $ f(1) = \sqrt{2} $ et pour tout $ x \in ]-1,1[ $, $ f'(x) > 0 $, il reste à voir comment se comporte $ f'(x) $ en $ -1^+ $ et $ 1^- $, comme $ f' $ est paire ces deux limites seront égales. \[ \lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{\sqrt{1 - x^4} \left( \sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2} \right)} = +\infty \] Car le dénominateur tend vers $ 0^+ $. Ce qui signifie que $ f $ admet des demi-tangentes verticales en $ -1 $ et en $ 1 $.

$f$ est strictement monotone donc $f$ est injective.

5. $ g : [-1,1] \to f([-1,1]) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $ est une bijection. Comme $ g'(0) = 1 \neq 0 $, la bijection réciproque est dérivable en 0 comme

\[ g^{-1}(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))} \]

On a

\[ g^{-1}(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))} = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{1} = 1 \]