Équation d'une droite en coordonnée polaire

En coordonnée rectangulaire (cartésienne), la relation liant $x$ et $y$ de chacun de ses points $\left(x,y\right)$ est $d\equiv y=ax+b$
si $d$ passe par l'origine : $d\equiv y=ax$
Une droite a une équation très simple en forme polaire, à condition que la droite passe par le pôle. L'équation générale d'une droite passant par le pôle est $\theta=\alpha,$ où $\alpha$ est l'angle que la droite forme avec l'axe $x$-positif. On note que toute droite $\theta=\alpha+\pi k$ est la même que la droite $\theta=\alpha$ pour tout entier $k$.
Droites ne passant pas par l'origine : Une équation du type $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $(a, b) \neq (0, 0)$, est l'équation cartésienne d'une droite. Réciproquement, toute droite du plan admet une équation de cette forme. \[\begin{aligned} ax+by+c=0 &\iff a\cdot r\cos\theta+b\cdot r\sin\theta+c=0\\ &\iff r=\frac{-c}{a\cos\theta+b\sin\theta}\\ &\iff r=\frac{1}{m\cdot \cos\theta+n\cdot\sin\theta} \end{aligned}\]

Proposition : Soient $(r_H, \theta_H)$ les coordonnées polaires du projeté orthogonal $H$ de l'origine $O$ du repère sur la droite $d$. Alors, \[m = \tfrac{1}{r_H}\cos \theta_H \ \text{et} \ n = \tfrac{1}{r_H}\sin \theta_H\]

Preuve : Considérons le triangle OHP représenté dans la figure ci-dessous :

Pour tout point $ P \in d $, le triangle $ OHP $ est rectangle en $ H $. Par conséquent, on a : \[ \cos\left(\theta_H - \theta\right) = \frac{r_H}{r} \] ce qui donne \[ r = \frac{r_H}{\cos\left(\theta_H - \theta\right)} \]

En utilisant la formule d'addition pour le cosinus, on a : \[r = \frac{r_H}{\cos\left(\theta_H\right)\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta_H\right)\sin\left(\theta\right)}\] ou bien \[r = \frac{1}{\tfrac{1}{r_H}\cos\left(\theta_H\right)\cos\left(\theta\right)+\tfrac{1}{r_H}\sin\left(\theta_H\right)\sin\left(\theta\right)}\]

Ainsi, si $ (r_H, \theta_H) $ sont les coordonnées polaires du projeté orthogonal $ H $ de l'origine $ O $ sur la droite $ d $, alors on a bien : \[ m = \tfrac{1}{r_H} \cos \theta_H \quad \text{et} \quad n = \tfrac{1}{r_H} \sin \theta_H \]

Cas particuliers :

droite parallèle et au-dessus de l'axe polaire : $H = \left(r_h;90^\circ\right)$ \[d\equiv r=\frac{r_H}{\sin\left(\theta\right)}\]
droite parallèle et en-dessous de l'axe polaire : $H = \left(r_h;270^\circ\right)$ \[d\equiv r=-\frac{r_H}{\sin\left(\theta\right)}\]
droite perpendiculaire à l'axe polaire et à droite du pôle : $H = \left(r_h;0^\circ\right)$ \[d\equiv r=\frac{r_H}{\cos\left(\theta\right)}\]
droite perpendiculaire à l'axe polaire et à gauche du pôle : $H = \left(r_h;180^\circ\right)$ \[d\equiv r=-\frac{r_H}{\cos\left(\theta\right)}\]

Exercice 1 : Calculer la coordonnée polaire du point symétrique par rapport au pôle du point $A = \left(3;\frac{5\pi}{6}\right)$ et du point $B = \left(1;-\frac{4\pi}{3}\right)$

Solution

$A' = \left(3;-\frac{\pi}{6}\right)$ et $B' = \left(1;-\frac{\pi}{3}\right)$

Exercice 2 : On donne le parallélogramme ABCD tel que la coordonnée polaire du point $A = \left(2;\frac{\pi}{6}\right)$ et du point $B = \left(3;-\frac{\pi}{2}\right)$. Sachant que le pôle est le point d'intersection des diagonales de ce parallélogramme, calculer les coordonnées polaires des sommets C et D

Solution

C est le point symétrique de A : $C = \left(2;\frac{7\pi}{6}\right)$
D est le point symétrique de B : $D = \left(3;\frac{\pi}{2}\right)$

Exercice 3 : Déterminer, sans calculs, les coordonnées polaires du milieu du segment [A,B] lorsque les coordonnées polaires de $A = \left(3;\frac{\pi}{4}\right)$ et celle de $B = \left(2;-\frac{3\pi}{4}\right)$.

Solution

Exercice 4 : Équations de la droite $d$ sachant que :

n° 4.1 : $d$ comprend $A = \left(1;\frac{2\pi}{3}\right)$ et est à une distance de 1 unité du pôle.

Solution

$A = \left(1;\frac{2\pi}{3}\right) \implies r_H=1 ,\quad \theta_H=\frac{2\pi}{3} $

$\begin{aligned}[t] d\equiv r &= \tfrac{1}{\cos\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)}\\ &= \tfrac{1}{\cos \theta \cos \frac{2\pi}{3}-\sin \theta \sin \frac{2\pi}{3}} \end{aligned}$

$d\equiv \frac{1}{r} = -\frac12\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

n° 4.2 : $d$ est parallèle à l'axe polaire et passe par le point $A = \left(2;\frac{\pi}{6}\right)$.

Solution

$d\equiv \frac{1}{r} = \sin\theta$

n° 4.3 : $d$ est perpendiculaire à l'axe polaire et passe par le point $A = \left(5;\frac{5\pi}{6}\right)$.

Solution

$d\equiv \frac{1}{r} = -\frac{2\sqrt{3}}{15}\cos\theta$

n° 4.4 : $d$ passe par les points $A = \left(2;\frac{\pi}{2}\right)$ et $B = \left(1;-\frac{\pi}{3}\right)$.

note : $d\equiv \begin{vmatrix} \frac1r&\cos\left(\theta\right)&\sin\left(\theta\right)\\[.5em] \frac1{r_A}&\cos\left(\theta_A\right)&\sin\left(\theta_A\right)\\[.5em] \frac1{r_B}&\cos\left(\theta_B\right)&\sin\left(\theta_B\right) \end{vmatrix} = 0$

Solution

$d\equiv \frac{1}{r} = \frac{\sqrt{3}+4}{2}\cos\theta + \frac12\sin\theta$

Exercice 5 : Soit $d$ parallèle à l'axe polaire et passant par $\left( 2;\frac{\pi}{6}\right) $. Donner l'équation de $d$.

Exercice 6 : Soit $d$ perpendiculaire à l'axe polaire et passant par $\left( 5;\frac{5\pi}{6}\right) $. Donner l'équation de $d$.

Même question si $d$ passe par $\left( 3;\frac{7\pi}{6}\right) $.

Exercice 7 : Rechercher l'équation polaire de la droite $d$ passant par les points $\left( 2;\frac{\pi}{2}\right) $ et $\left( 1;-\frac{\pi}{3}\right) $.

Exercice 8 : Rechercher l'équation polaire de la droite $d$ passant par le point $P=\left( 2;\frac{\pi}{6}\right) $ et qui forme avec l'axe polaire un angle d’amplitude $\frac{2\pi}{3}$.

Exercice 9 : Représenter les droites suivantes : $d_1\equiv r=\dfrac{2}{\cos\left( \theta\right) }$, $d_2\equiv r=\dfrac{1}{\sin\left( \theta\right) }$, $d_3\equiv r=\dfrac{-3}{\cos\left( \theta\right) }$ et $d_4\equiv r=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\left( \theta-\frac{\pi}{3}\right) }$.

Exercice 10 : Quelles sont les équations polaires des deux droites représentées ci-dessous ?

Exercice 11 : Représenter $\Gamma_1 \equiv r = 1+2\sin\left( \theta\right) $ et $\Gamma_2 \equiv r = 2+\cos\left( \theta\right) $

Équation d'une droite en coordonnée polaire

Exercices