Équation d'une droite en coordonnée polaire
- En coordonnée rectangulaire (cartésienne), la relation liant \(x\) et \(y\) de chacun de ses points \(\left(x,y\right)\) est \(d\equiv y=ax+b\)
si \(d\) passe par l'origine : \(d\equiv y=ax\) - Une droite a une équation très simple en forme polaire, à condition que la droite passe par le pôle. L'équation générale d'une droite passant par le pôle est \(\theta=\alpha,\) où \(\alpha\) est l'angle que la droite forme avec l'axe \(x\)-positif.
On note que toute droite \(\theta=\alpha+\pi k\) est la même que la droite \(\theta=\alpha\) pour tout entier \(k\). - Droites ne passant pas par l'origine : Une équation du type $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $(a, b) \neq (0, 0)$, est l'équation cartésienne d'une droite. Réciproquement, toute droite du plan admet une équation de cette forme. \[\begin{aligned} ax+by+c=0 &\iff a\cdot r\cos\theta+b\cdot r\sin\theta+c=0\\ &\iff r=\frac{-c}{a\cos\theta+b\sin\theta}\\ &\iff r=\frac{1}{m\cdot \cos\theta+n\cdot\sin\theta} \end{aligned}\]
Proposition : Soient $(r_H, \theta_H)$ les coordonnées polaires du projeté orthogonal $H$ de l'origine $O$ du repère sur la droite \(d\). Alors, \[m = \tfrac{1}{r_H}\cos \theta_H \ \text{et} \ n = \tfrac{1}{r_H}\sin \theta_H\]
Preuve : Considérons le triangle OHP représenté dans la figure ci-dessous :
Pour tout point \( P \in d \), le triangle \( OHP \) est rectangle en \( H \). Par conséquent, on a : \[ \cos\left(\theta_H - \theta\right) = \frac{r_H}{r} \] ce qui donne \[ r = \frac{r_H}{\cos\left(\theta_H - \theta\right)} \]
En utilisant la formule d'addition pour le cosinus, on a : \[r = \frac{r_H}{\cos\left(\theta_H\right)\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta_H\right)\sin\left(\theta\right)}\] ou bien \[r = \frac{1}{\tfrac{1}{r_H}\cos\left(\theta_H\right)\cos\left(\theta\right)+\tfrac{1}{r_H}\sin\left(\theta_H\right)\sin\left(\theta\right)}\]
Ainsi, si \( (r_H, \theta_H) \) sont les coordonnées polaires du projeté orthogonal \( H \) de l'origine \( O \) sur la droite \( d \), alors on a bien : \[ m = \tfrac{1}{r_H} \cos \theta_H \quad \text{et} \quad n = \tfrac{1}{r_H} \sin \theta_H \]
Cas particuliers :
- droite parallèle et au-dessus de l'axe polaire : \(H = \left(r_h;90^\circ\right)\) \[d\equiv r=\frac{r_H}{\sin\left(\theta\right)}\]
- droite parallèle et en-dessous de l'axe polaire : \(H = \left(r_h;270^\circ\right)\) \[d\equiv r=-\frac{r_H}{\sin\left(\theta\right)}\]
- droite perpendiculaire à l'axe polaire et à droite du pôle : \(H = \left(r_h;0^\circ\right)\) \[d\equiv r=\frac{r_H}{\cos\left(\theta\right)}\]
- droite perpendiculaire à l'axe polaire et à gauche du pôle : \(H = \left(r_h;180^\circ\right)\) \[d\equiv r=-\frac{r_H}{\cos\left(\theta\right)}\]
Exercices
Exercice 1 : Calculer la coordonnée polaire du point symétrique par rapport au pôle du point \(A = \left(3;\frac{5\pi}{6}\right)\) et du point \(B = \left(1;-\frac{4\pi}{3}\right)\)
Exercice 2 : On donne le parallélogramme ABCD tel que la coordonnée polaire du point \(A = \left(2;\frac{\pi}{6}\right)\) et du point \(B = \left(3;-\frac{\pi}{2}\right)\). Sachant que le pôle est le point d'intersection des diagonales de ce parallélogramme, calculer les coordonnées polaires des sommets C et D
Exercice 3 : Déterminer, sans calculs, les coordonnées polaires du milieu du segment [A,B] lorsque les coordonnées polaires de \(A = \left(3;\frac{\pi}{4}\right)\) et celle de \(B = \left(2;-\frac{3\pi}{4}\right)\).
Exercice 4 : Équations de la droite \(d\) sachant que :
n° 4.1 : \(d\) comprend \(A = \left(1;\frac{2\pi}{3}\right)\) et est à une distance de 1 unité du pôle.
n° 4.2 : \(d\) est parallèle à l'axe polaire et passe par le point \(A = \left(2;\frac{\pi}{6}\right)\).
n° 4.3 : \(d\) est perpendiculaire à l'axe polaire et passe par le point \(A = \left(5;\frac{5\pi}{6}\right)\).
n° 4.4 : \(d\) passe par les points \(A = \left(2;\frac{\pi}{2}\right)\) et \(B = \left(1;-\frac{\pi}{3}\right)\).
note : \(d\equiv \begin{vmatrix} \frac1r&\cos\left(\theta\right)&\sin\left(\theta\right)\\[.5em] \frac1{r_A}&\cos\left(\theta_A\right)&\sin\left(\theta_A\right)\\[.5em] \frac1{r_B}&\cos\left(\theta_B\right)&\sin\left(\theta_B\right) \end{vmatrix} = 0\)
Exercice 5 : Soit \(d\) parallèle à l'axe polaire et passant par \(\left( 2;\frac{\pi}{6}\right) \). Donner l'équation de \(d\).
Exercice 6 : Soit \(d\) perpendiculaire à l'axe polaire et passant par \(\left( 5;\frac{5\pi}{6}\right) \). Donner l'équation de \(d\).
Même question si \(d\) passe par \(\left( 3;\frac{7\pi}{6}\right) \).
Exercice 7 : Rechercher l'équation polaire de la droite \(d\) passant par les points \(\left( 2;\frac{\pi}{2}\right) \) et \(\left( 1;-\frac{\pi}{3}\right) \).
Exercice 8 : Rechercher l'équation polaire de la droite \(d\) passant par le point \(P=\left( 2;\frac{\pi}{6}\right) \) et qui forme avec l'axe polaire un angle d’amplitude \(\frac{2\pi}{3}\).
Exercice 9 : Représenter les droites suivantes : \(d_1\equiv r=\dfrac{2}{\cos\left( \theta\right) }\), \(d_2\equiv r=\dfrac{1}{\sin\left( \theta\right) }\), \(d_3\equiv r=\dfrac{-3}{\cos\left( \theta\right) }\) et \(d_4\equiv r=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\left( \theta-\frac{\pi}{3}\right) }\).
Exercice 10 : Quelles sont les équations polaires des deux droites représentées ci-dessous ?
Exercice 11 : Représenter \(\Gamma_1 \equiv r = 1+2\sin\left( \theta\right) \) et \(\Gamma_2 \equiv r = 2+\cos\left( \theta\right) \)
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