en construction

Soit \( f \) la fonction définie par \( 2 \arcsin x + \arcsin f(x) = \frac{\pi}{6} \). Donner l’ensemble de définition de \( f \). Prouver qu’elle admet une fonction réciproque dont on donnera l’ensemble de définition.

SOL : Pour qu’il existe \( y \) (nécessairement unique) tel que \( \arcsin y = \frac{\pi}{6} - 2 \arcsin x \), il est nécessaire et suffisant que \[ -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} - 2 \arcsin x \leq \frac{\pi}{2} \quad \text{soit} \quad -\frac{\pi}{6} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{3}. \]

Passant au sinus, on en déduit que le domaine de définition de \( f \) est \( \text{dom} \ f = \left[ -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right] \).

De plus, pour tout \( x \in \text{dom} \ f \), on a \( f(x) = \sin \left( \frac{\pi}{6} - 2 \arcsin x \right) \).

La fonction \( \arcsin \) est croissante, donc la fonction \( x \mapsto \frac{\pi}{6} - 2 \arcsin x \) est strictement décroissante sur \( \text{dom} \ f \) et prend ses valeurs dans \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \). Or, sur cet intervalle, la fonction sinus est strictement croissante. Il en résulte que \( f \) est strictement décroissante sur \( \text{dom} \ f \).

De plus, \( f \) est continue comme composée de fonctions continues. \( f \) réalise donc une bijection de \( \text{dom} \ f \) sur \[ \left[ f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right), f\left(-\frac{1}{2}\right) \right] = [-1, 1]. \]

\( f \) admet donc une fonction réciproque qui est définie sur \([-1, 1]\).