L'identité d'Euler

But : Utilisation des séries de Taylor et Maclaurin pour prouver l'identité d'Euler \(\bbox[pink,5px] {e^{i\pi}+1=0}\)

L'identité d'Euler est une équation mathématique remarquable qui relie les constantes \( e \), \( \pi \), l'unité imaginaire \( i \), et les fonctions trigonométriques. Considérée comme l'une des équations les plus élégantes, elle illustre un lien surprenant entre différents concepts mathématiques.

La fonction exponentielle \( e^x \) possède pour tout \( x \) la série de Maclaurin suivante : \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

En remplaçant \( x \) par \( ix \) dans cette série, où \( i \) est l'unité imaginaire, nous pouvons établir un lien intéressant.

Rappelons les propriétés de \( i \) :

• \( i^2 = -1 \)
• \( i^3 = -i \)
• \( i^4 = 1 \)
• \( i^5 = i \)

Ces propriétés cycliques de \( i \) nous permettent de simplifier les puissances de \( i \) dans le développement en série de \( e^{ix} \).

En substituant \( x \) par \( ix \) dans la série exponentielle, nous obtenons : \[ e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots \]

Simplifions chaque terme en utilisant les propriétés de \( i \) : \[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

Nous pouvons regrouper les termes réels et imaginaires : \[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\right) \]

En reconnaissant les séries de Taylor pour les fonctions trigonométriques, nous obtenons : \[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]

Cette relation est connue sous le nom de formule d'Euler. Elle établit un lien profond entre les fonctions exponentielles et trigonométriques, montrant que les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en termes de fonctions exponentielles complexes.