Développements limités : Taylor - MacLaurin

La présentation du cours

L’idée du développement limité (aussi appelé développement de Taylor ou, autour de 0, développement de Maclaurin) est de remplacer, localement, une fonction par un polynôme qui en est une bonne approximation au voisinage d’un point donné. Par exemple, approcher une fonction \(f\) par un polynôme facilite souvent les calculs (résolution d’équations, intégration, etc.).

Exemple concret : On sait qu’autour d’un point \(a\), la fonction \(f(x)\) peut se “comporter” comme une droite (approximation linéaire) ou comme un polynôme de degré plus élevé, en utilisant les dérivées de \(f\) à ce point.

Beaucoup de fonctions peuvent être approximées par des polynômes. Quant à la précision des approximations, elle augmente avec le degré du polynôme utilisé, une précision parfaite étant atteinte par un « polynôme de degré infini ». En plus de fournir une façon de calculer les valeurs des fonctions, les séries de puissances fournissent une façon de calculer des intégrales définies. Elles jouent aussi un rôle important dans la résolution d’équations différentielles et permettent la généralisation des fonctions élémentaires (ex, ln(x), sin(x), etc.) au domaine des nombres complexes, univers dans lequel les racines carrées des nombres négatifs.

Rappel : on a déjà rencontre déjà l’approximation affine au voisinage d’un point \(a\). Celle-ci se note : \[ f(x) \approx f(a) + f'(a)\,\bigl(x - a\bigr). \] C’est exactement le développement limité d’ordre 1.

1. Interprétation géométrique : c’est l’équation de la tangente au point \(a\).
2. Avantage pratique : pour \(x\) proche de \(a\), on remplace \(f(x)\) par une expression simple.

Pour aller plus loin, on souhaite non plus seulement coller à la tangente, mais aussi tenir compte des courbures successives (dérivées d’ordres 2, 3, …). Le polynôme de Taylor d’ordre \(n\) (ou développement limité d’ordre \(n\)) s’écrit :

\[ P_n(x) \;=\; f(a) \;+\; \frac{f'(a)}{1!}\,(x - a) \;+\; \frac{f''(a)}{2!}\,(x - a)^2 \;+\;\cdots+\; \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x - a)^n. \]

On note souvent \[P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k.\]

Remarque sur la notation “ordre \(n\)” : On dit qu’un polynôme est “d’ordre \(n\)” lorsqu’il va jusqu’à la puissance \((x - a)^n\).

Parfois, on ajoute un terme de “reste” \(R_n(x)\) pour mesurer la qualité de l’approximation : \[ f(x) = P_n(x) + R_n(x), \] avec souvent \(R_n(x)\) “petit” si \(x\) est proche de \(a\).

Un cas très utilisé est celui où \(a = 0\). Le développement limité s’appelle alors développement de Maclaurin et prend la forme : \[ P_n(x) \;=\; f(0) \;+\; \frac{f'(0)}{1!}\,x \;+\; \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 \;+\;\cdots+\; \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n. \]

Théorème : Le polynôme \(P_n(x)\) construit ci-dessus est le seul polynôme de degré \(n\) dont la valeur et les dérivées d’ordre 1, 2, …, \(n\) coïncident avec celles de \(f\) au point \(a\).

Autrement dit, si un polynôme \(Q(x)\) satisfait \[ Q(a) = f(a), \quad Q'(a) = f'(a), \quad \dots, \quad Q^{(n)}(a) = f^{(n)}(a), \] alors nécessairement \(Q(x) = P_n(x)\).

1. Approximation : Pour \(x\) proche de \(a\), calculer \(f(x)\) directement peut être difficile. On le remplace alors par son polynôme \(P_n(x)\), bien plus simple.
2. Études de limites : Les développements limités facilitent l’étude de limites de fonctions compliquées en donnant la “première forme non nulle” du comportement de la fonction.
3. Résolution d’équations : Il est parfois plus simple de résoudre une équation approchée que l’équation exacte, surtout lorsque la fonction est transcendante (exemple : équation faisant intervenir exponentielle et polynômes).
4. Outils pour l’analyse : Les séries de Taylor–Maclaurin servent en analyse avancée, notamment pour justifier que certaines fonctions peuvent se “développer en séries” et ainsi être manipulées comme de simples polynômes locaux.

\begin{align*} I &= \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x \cdot \sqrt[4]{x \cdots}}}\, dx\\ &= \int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2 \cdot 3}} \cdot x^{\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}} \cdots \, dx\\ &= \int_{0}^{1} x^{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}} \, dx\\ &= \int_{0}^{1} x^{e-1} \, dx = \left[ \frac{x^e}{e} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{e} \end{align*}

1. Le développement d’ordre 1 (ou linéaire) : la tangente, déjà vue en cours.
2. Le développement d’ordre \(n\) : polynôme tenant compte des dérivées jusqu’à l’ordre \(n\).
3. Le développement de Maclaurin : cas particulier autour de \(0\).
4. Propriété-clé : ce polynôme est unique et recolle parfaitement les dérivées de la fonction jusqu’à l’ordre \(n\).

Tâches : approximation de \(\sqrt{1+x}\) ou \(\sin x\) autour de 0.