1. \begin{align} \frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\cos \alpha-\cos \beta} &= \frac{2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}\\ &= \frac{2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} = -\cot \left(\frac{a+\beta}{2}\right)\\ \end{align}

2. toujours par Simpson : \(\sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha)\) \begin{align} \phantom{text}& \sin 7 \alpha-\sin 5 \alpha -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha\\ &\iff 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha) -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha\\ &\iff -2 \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha=-2 \cos 4 \alpha \sin \alpha - 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha)\\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = \left( \cos 4 \alpha + \cos 6\alpha \right) \sin \alpha \\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = 2\cos 5\alpha \cos \alpha \sin \alpha \quad \mathrm{(Simpson)}\\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = \cos 5\alpha \ 2 \sin \alpha \cos \alpha\\ &\iff \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha = \cos 5 \alpha \sin 2 \alpha \end{align}

3. \begin{align*} \frac{2 \sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)} &= \frac{2 \sin (\alpha)\cos(\beta) + 2 \sin(\beta) \cos(\alpha)}{2\cos (\alpha) \cos (\beta)} \\ &= \frac{\sin (\alpha)\cos(\beta)}{\cos (\alpha) \cos (\beta)} + \frac{ \sin (\beta)\cos(\alpha) }{\cos (\alpha) \cos (\beta)} \\ &= \tan \alpha+\tan \beta \end{align*}

II s'agit ici d'une progression géométrique de raison $\cos x$.

Rappel : La somme des éléments d'une suite géometrique de raison $a$ avec $|a|<1$ est donné par la formule suivante: $$ \sum_{i=0}^{+\infty} a^{i}=\frac{1}{1-a} $$

$$ \begin{aligned} \implies \sum_{i=0}^{+\infty} \cos ^{i} x=& \frac{1}{1-\cos x}=\frac{1}{1-1+2 \sin ^{2} \frac{x}{2}} \\ =& \frac{1+\cot ^{2} \frac{x}{2}}{2} \\ \text { Si } \cos x \neq 1 \end{aligned} $$

On trouve $h=16\sqrt{3}+12\sqrt{2}$

$h=20\sqrt 2$

\[ \begin{aligned} & \tan 81^\circ+\tan 9^\circ-(\tan 63+\tan 27) \\ & =\cot 9^\circ+\tan 9^\circ-(\cot 27^\circ+\tan 27^\circ) \\ & =\frac{(\cos 9^\circ)^2+(\sin 9^\circ)^2}{\sin 9^\circ \cdot \cos 9^\circ}-\frac{(\cos 27^\circ)^2+(\sin 27^\circ)^2}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} \\ & =\frac{1}{\sin 9^\circ \cdot \cos 9^\circ}-\frac{1}{\sin 27^\circ \cdot \cos 27^\circ} \\ & =\frac{2}{\sin 18^\circ}-\frac{2}{\sin 54^\circ} \\ & =2 \cdot \frac{\sin 54^\circ-\sin 18^\circ}{\sin 54^\circ \cdot \sin 18^\circ} \quad (1)\\ & =\frac{4 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\cos 36^\circ \cdot \sin 18^\circ} \\ & =4 \end{aligned} \] (1) La formule de Simpson en trigonométrie peut être utilisée pour exprimer la différence entre deux sinus comme un produit de sinus. Cela peut être exprimé comme:

\[ \sin a - \sin b = 2 \sin \left( \frac{{a - b}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{a + b}}{2} \right) \]

Pour \(\sin 54^\circ - \sin 18^\circ\):

Prenons \(a = 54^\circ\) et \(b = 18^\circ\):

Calculons d'abord les termes de la formule.

\[ \frac{{a - b}}{2} = \frac{{54^\circ - 18^\circ}}{2} = 18^\circ \] \[ \frac{{a + b}}{2} = \frac{{54^\circ + 18^\circ}}{2} = 36^\circ \]

Maintenant, appliquons ces valeurs à la formule de Simpson:

\[ \sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ \]

Donc, \(\sin 54^\circ - \sin 18^\circ\) peut être exprimé comme un produit: \(2 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ\).

\[\begin{aligned} \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ &= \sin 10^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ \quad \text{angles complémentaires} \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( 2\cos 40^\circ \cos 20^\circ \right) \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( \cos \left( 40^\circ+20^\circ \right) + \cos\left( 40^\circ-20^\circ \right) \right) \quad \text{Simpson} \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( \cos 60^\circ + \cos 20^\circ \right) \\ &= \sin 10^\circ \cdot \frac12 \left( \frac12 + \cos 20^\circ \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac12 \cdot \sin 10^\circ \cos 20^\circ \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( 2\sin 10^\circ \cos 20^\circ \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( \sin \left( 10^\circ+20^\circ \right) + \sin \left( 10^\circ-20^\circ \right) \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( \sin \left( 30^\circ \right) + \sin \left( -10^\circ \right) \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac14 \cdot \left( \frac12 + \sin \left( -10^\circ \right) \right) \\ &= \frac14 \cdot \sin 10^\circ + \frac18 - \frac14 \sin 10^\circ \\ &= \frac18 \end{aligned}\]