Valeur absolue et fonction partie entière

Task #303 Recherche l'aire de la région du plan vérifiant la relation \[\left\lfloor x^2+y^2-2x \right\rfloor = 3\] où $\left\lfloor x \right\rfloor$ représente la fonction partie entière

solution

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\documentclass[tikz,border={5pt 10pt 20pt 10pt}]{standalone} 
\usetikzlibrary{patterns}
\usepackage{nccmath, mathtools}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[even odd rule]
% Calcul de sqrt(5)
\pgfmathsetmacro{\sqrtFive}{sqrt(5)}
% Définition des axes
\draw[thick,-latex] (-2,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; % Axe des x
\draw[thick,-latex] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$}; % Axe des y
% Régions
\begin{scope}
\fill[pattern=crosshatch dots, pattern color=purple]  (1,0) circle (2)  (1,0) circle (\sqrtFive); 
\end{scope}
% Cercles
\draw[] (1,0) circle (2) (1,0) circle (\sqrtFive);
% Point z0
\coordinate (z0) at (1,0);
\node [below] at (z0) {$z_0$};
\fill (z0) circle [radius=1pt];
% Texte
\node at (4,3) {%
\(\medmath{%%
\begin{aligned}[t]
\left\lfloor x^2+y^2-2x \right\rfloor = 3
&\iff 3 \leq x^2+y^2-2x < 4 \\
&\iff 4 \leq \left( x - 1 \right) ^2 + y^2 < 5 \\
&\iff 2 \leq \sqrt{\left( x - 1 \right) ^2 + y^2} < \sqrt{5} \\
\end{aligned}}\)
};
% Texte
\node at (4,-2.7) {%
\(\medmath{%%
\text{Note : } \left\lfloor x \right\rfloor = n \iff n \leq x < n+1 
}%%
\)
};%
\end{tikzpicture}
\end{document}

Task #374A Montrer que \[|a+b|=|a|+|b|\iff a\cdot b \geq 0\] pour tous réels $a$ et $b$.

solution

En élevant les deux côtés au carré,

$$ |a+b| = |a| + |b| \iff a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2|ab| + b^2. $$

Ainsi,

$$ |a+b| = |a| + |b| \iff ab = |ab| \iff ab \geq 0. $$

Task #374B Résoudre dans $\mathbb R$ \[\left|\frac{x+1}{x}\right|+|x+1|=\frac{\left(x+1\right)^2}{|x|}\]

solution

on pose $a=\frac{x+1}{x}$ et $b=x+1$

on recherche l'expression de $|a + b|$ : \[ \left| a + b \right| = \left| \frac{x+1}{x} + x + 1\right| = \left| \frac{x^2+2x+1}{x}\right| = \frac{(x+1)^2}{|x|} \]

par conséquent, \[ |a + b| = |a| + |b| \]

la tâche précédente permet d'affirmer \[ |a + b| = |a| + |b| \iff a\cdot b \geq 0 \]

autrement dit, dans notre cas : \[\left|\frac{x+1}{x}\right|+|x+1|=\frac{\left(x+1\right)^2}{|x|} \iff \frac{x+1}{x} \cdot \left(x + 1\right)\geq 0\]

il suffit donc de résoudre $\frac{x+1}{x} \cdot \left(x + 1\right)\geq 0$ pour terminer l'exercice.

solution finale: \[ x \in \left[0, \infty\right[ \cup \{-1\} \]