En élevant les deux côtés au carré,

$$ |a+b| = |a| + |b| \iff a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2|ab| + b^2. $$

Ainsi,

$$ |a+b| = |a| + |b| \iff ab = |ab| \iff ab \geq 0. $$

on pose $a=\frac{x+1}{x}$ et $b=x+1$

on recherche l'expression de $|a + b|$ : \[ \left| a + b \right| = \left| \frac{x+1}{x} + x + 1\right| = \left| \frac{x^2+2x+1}{x}\right| = \frac{(x+1)^2}{|x|} \]

par conséquent, \[ |a + b| = |a| + |b| \]

la tâche précédente permet d'affirmer \[ |a + b| = |a| + |b| \iff a\cdot b \geq 0 \]

autrement dit, dans notre cas : \[\left|\frac{x+1}{x}\right|+|x+1|=\frac{\left(x+1\right)^2}{|x|} \iff \frac{x+1}{x} \cdot \left(x + 1\right)\geq 0\]

il suffit donc de résoudre \(\frac{x+1}{x} \cdot \left(x + 1\right)\geq 0\) pour terminer l'exercice.

solution finale: \[ x \in \left[0, \infty\right[ \cup \{-1\} \]