pesam:admission:analyse

2 - Analyse

Exo 1 : Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (n'oubliez pas les CE !)

$\left\{\begin{array}{l}\log _{4} y-\log _{2} x-\frac{1}{2}=0 \\y^{2}-2 x y-2 x^{2}-3 y+8 x=0\end{array}\right.$

Solution

Solution

Étape 1: De la première équation, nous avons:

\[ \log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} \implies \frac{\log_2 y}{2} = \log_2 x + \frac{1}{2} \]

Ce qui donne : \[y = 2x^2\]

Étape 2: En remplaçant \(y\) dans la deuxième équation, nous obtenons:

\[4x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 8x = 0\]

En factorisant par \(x\), on a :

\[x(x^3 - x^2 - 2x + 2) = 0\]

La factorisation par regroupement donne:

\[x^3 - x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1) - 2(x - 1) = (x^2 - 2)(x - 1)\]

D'où les solutions pour \(x\):

\[x = 0, 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\]

En substituant chaque valeur de \(x\) dans \(y = 2x^2\), nous obtenons:

\[ \begin{aligned} x = 0 &\implies y = 0, \\ x = 1 &\implies y = 2, \\ x = \sqrt{2} &\implies y = 4, \\ x = -\sqrt{2} &\implies y = 4. \end{aligned} \]

Conditions d'existence (CE): Pour que les logarithmes existent, il faut que \(y > 0\) et \(x > 0\). Ainsi, les solutions qui satisfont ces conditions sont \(x = 1\) avec \(y = 2\) et \(x = \sqrt{2}\) avec \(y = 4\).


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  • Dernière modification : 2025/03/15 16:14
  • de Frédéric Lancereau