Étape 1: De la première équation, nous avons:

\[ \log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} \implies \frac{\log_2 y}{2} = \log_2 x + \frac{1}{2} \]

Ce qui donne : \[y = 2x^2\]

Étape 2: En remplaçant \(y\) dans la deuxième équation, nous obtenons:

\[4x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 8x = 0\]

En factorisant par \(x\), on a :

\[x(x^3 - x^2 - 2x + 2) = 0\]

La factorisation par regroupement donne:

\[x^3 - x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1) - 2(x - 1) = (x^2 - 2)(x - 1)\]

D'où les solutions pour \(x\):

\[x = 0, 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\]

En substituant chaque valeur de \(x\) dans \(y = 2x^2\), nous obtenons:

\[ \begin{aligned} x = 0 &\implies y = 0, \\ x = 1 &\implies y = 2, \\ x = \sqrt{2} &\implies y = 4, \\ x = -\sqrt{2} &\implies y = 4. \end{aligned} \]

Conditions d'existence (CE): Pour que les logarithmes existent, il faut que \(y > 0\) et \(x > 0\). Ainsi, les solutions qui satisfont ces conditions sont \(x = 1\) avec \(y = 2\) et \(x = \sqrt{2}\) avec \(y = 4\).

\[\begin{aligned}\left[ \int_1^x (x-t)\cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} &= \left[\int_1^x x\cdot f(t) \; \mathrm{d}t - \int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} \\ &= \left[x\cdot \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}- \left[\int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}\\&= \left[x\right]^{\prime}\cdot \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t + x\cdot \left[ \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime} - \left[\int_1^x t \cdot f(t) \; \mathrm{d}t \right]^{\prime}\\ &= \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t +x\cdot f(x) -x\cdot f(x) \\ &= \int_1^x f(t) \; \mathrm{d}t\end{aligned}\]