2 - Analyse

Étape 1: De la première équation, nous avons:

$$\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} \implies \frac{\log_2 y}{2} = \log_2 x + \frac{1}{2}$$

Ce qui donne : $$y = 2x^2$$

Étape 2: En remplaçant $y$ dans la deuxième équation, nous obtenons:

$$4x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 8x = 0$$

En factorisant par $x$, on a :

$$x(x^3 - x^2 - 2x + 2) = 0$$

La factorisation par regroupement donne:

$$x^3 - x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1) - 2(x - 1) = (x^2 - 2)(x - 1)$$

D'où les solutions pour $x$:

$$x = 0, 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$$

En substituant chaque valeur de $x$ dans $y = 2x^2$, nous obtenons:

$$\begin{aligned} x = 0 &\implies y = 0, \\ x = 1 &\implies y = 2, \\ x = \sqrt{2} &\implies y = 4, \\ x = -\sqrt{2} &\implies y = 4. \end{aligned}$$

Conditions d'existence (CE): Pour que les logarithmes existent, il faut que $y > 0$ et $x > 0$. Ainsi, les solutions qui satisfont ces conditions sont $x = 1$ avec $y = 2$ et $x = \sqrt{2}$ avec $y = 4$.