Soit dm≡y=mx+2 la famille de droites passant par P~. On recherche le lieu des points M déterminés par l'intersection de dm avec C : {x2+y2=1y=mx+2
On obtient une équation du second degré : (1+m2)x2+4mx+3=0
Le réalisant est ρ=4m2−12 et il doit être positif ou nul pour obtenir deux points d'intersection.
m2−3≥0⟺m∈]−∞,−√3]∪[√3,+∞[
L'abscisse et l'ordonnée du point milieu d'un segment sont obtenus (resp.) en divisant par deux la somme des abscisses et la somme des ordonnées des extrémités de celui-ci. Or, la somme des abscisses correspond précisément à la somme des racines d'une équation du second degré ax2+bx+c=0. Comme celle-ci vaut −b2a, l'abscisse du point milieu vaut : xM=−4m/(1+m2)2=−2m1+m2 En outre, yM=m⋅xM+2, d'où yM=21+m2
Le lieu recherché est : L≡{(−2m1+m2;21+m2)∈R2|m∈]−∞,−√3]∪[√3,+∞[}
Ce lieu est une portion de cercle de centre (0,1) et de rayon 1 (C≡x2+(y−1)2=1). En effet, (−2m1+m2)2+(21+m2−1)2=1(∀m∈R)⟺4m2(1+m2)2+(1−m2)2(1+m2)2=1⟺4m2+(1−m2)2(1+m2)2=1⟺m4+2m2+1(1+m2)2=1⟺(m2+1)2(1+m2)2=1