Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal, dont l'existence est reconnue bien avant que Blaise Pascal n'en donne une formulation précise en 1654, est un instrument incontournable dans tous les domaines des mathématiques. Avec ses nombreuses propriétés, parfois énigmatiques, il continue de nous étonner et de révéler de nouvelles surprises.

Le triangle de Pascal est avant tout un tableau de nombres, un tableau triangulaire et infini. Par convention, les cases de ce tableau sont numérotées en partant de 0 du haut vers le bas et de la gauche vers la droite. On définit le contenu des cases de la manière suivante : la case (0,0) vaut 1 puis les autres cases sont obtenues en faisant la somme des deux cases immédiatement au-dessus à gauche et à droite. S’il n’y a pas de case à gauche ou à droite, sa valeur est considérée comme égale à zéro. Ainsi, les premières lignes du triangle de Pascal sont : 1 (ligne 1), 1 1 (ligne 2), 1 2 1 (ligne 3), 1 3 3 1 (ligne 4), 1 4 6 4 1 (ligne 5) et ainsi de suite. Dans le triangle de Pascal, les extrémités des lignes prennent toujours la valeur 1. Une première propriété intéressante est que la somme de chacune de ses lignes est une puissance de deux. La somme de la première ligne vaut 1 donc $2^0$, la somme de la deuxième est 2 donc $2^1$, la somme de la troisième vaut 8 donc $2^3$ et ainsi de suite.

$n \setminus p$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
0	$1$
1	$1$	$1$
2	$1$	$2$	$1$
3	$1$	$3$	$3$	$1$
4	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
5	$1$	$5$	$10$	$C_5^3=10$	$C_5^4=5$	$1$
6	$1$	$6$	$15$	$20$	$C_6^4=15$	$6$	$1$

Pour construire et afficher un triangle de Pascal, on peut utiliser le programme Python suivant :

# Exemple de code Python
def trianglePascal(n):
    T = [[0] * (n+1) for p in range(n+1)]
    for n in range(n+1):
        if n == 0:
            T[n][0] = 1
        else:
            for k in range(n+1):
                if k == 0:
                    T[n][0] = 1
                else:
                    T[n][k] = T[n-1][k-1] + T[n-1][k]
    return T
 
T = trianglePascal(15)
 
for i in range(len(T)):
    print(T[i][:i+1])

$n \setminus p$	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
0	\(1\)
1	\(1\)	\(1\)
2	\(1\)	\(2\)	\(1\)
3	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(1\)
4	\(1\)	\(4\)	$6$	$4$	\(1\)
5	\(1\)	\(5\)	\(10\)	\(C_5^3=10\)	\(C_5^4=5\)	\(1\)
6	\(1\)	\(6\)	\(15\)	\(20\)	\(C_6^4=15\)	\(6\)	\(1\)

Triangle de Pascal

Construction du Triangle de Pascal

Triangle de Sierpinski

Programme Python