Exercices Probabilités

( M64_RevisionsJuin2022.tex) $\newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)}$

Exercice 1 : Soit X et Y deux événements tels que $P(X)=0,7$ , $P(Y)=0,4$ et $P\Par{X \cap Y} = 0,3$ .

Déterminer : (Montrer les formules utilisées)

$P\Par{X \cup Y} =$
$P\Par{\overline{X} \cap \overline{Y}} =$
$P\Par{X \backslash Y} =$

Exercice 2 : On joue avec un dé truqué à 6 faces. On lance une fois ce dé. On sait que :

la probabilité d'obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5 est la même
la probabilité d'obtenir un 6 est égale à $\frac{1}{2}$

Questions :

Soit A l'événement : “ obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 ”. Calculer P(A).
Soit B l'événement : “ obtenir la face 2 ”. Déterminer P(B).
Soit C l'événement : “ obtenir un nombre pair ”. Déterminer P(C). En déduire la probabilité d'obtenir un nombre impair.

Exercice 3 : Quatre ami.e.s se lancent un défi inspiré du jeu télévisé Pékin Express » : le premier arrivé à Athènes a gagné. Sophie a quatre fois plus de chances de gagner que Pierre. Justine a trois fois plus de chances de gagner que Victor et Victor a deux fois plus de chance de gagner que Pierre. Il n'y a pas d'ex-aequo. CALCULE la probabilité de gagner de Sophie.

Solution

$P(\textrm{Sophie}) = \frac{4}{13}$

Exercice 4 : On se place dans une classe dont la répartition des élèves selon l'âge est donnée par le tableau ci-dessous : $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 15 \textrm{ans} & 16 \textrm{ans} & \textrm{Total} \\ \hline \textrm{Filles} & 6 & 2 & 8 \\ \hline \textrm{Garçons} & 18 & 4 & 22 \\ \hline \textrm{Total} & 24 & 6 & 30 \\ \hline \end{array}$ On choisit au hasard un élève de cette classe. Calculer :

La probabilité d'avoir choisi un garçon de 15 ans
La probabilité de ne pas avoir choisi une fille de 15 ans
La probabilité d'avoir choisi un garçon ou une élève de 15 ans

Exercice 5 : Vrai ou faux ? justifier. (https://www.apmep.fr/Concours-Advance - Concours 2013)

Deux laboratoires proposent chacun leur vaccin contre la grippe. On sait qu'un quart de la population a utilisé le vaccin 1 et un sixième le vaccin 2. Il n'est pas possible pour un individu d'être vacciné deux fois. L'épidémie ayant eu lieu, on constate que 1% des malades ont utilisé le vaccin 1 et 0,6% le vaccin 2.

On choisit au hasard un individu dans la population, on note $M$ = “ l'individu est malade ”, $V_1$ = “ l'individu a reçu le vaccin 1 ”, $V_2$ = “ l'individu a reçu le vaccin 2 ”.

La probabilité que l'individu soit vacciné est $P(V_1) + P(V_2)$
Les données ne permettent pas de calculer $P(M\, | \, {\overline{V_1}})$
$P(V_1) = \dfrac{1}{100}$
$P(\overline{V_2}\, | \, M) = 0,94$
$\dfrac{P(M\, | \, \overline{V_2})}{P(M\, | \, V_2)} = \dfrac{P(\overline{V_2}\, | \, M)P(V_2)}{P(V_2\, | \, M)P\left(\overline{V_2}\right)}$

Solution

VVFFV

$P(V_1) = 1/4$ ; $P(V_2) = 1/6$ ; $P(V_1 | M) = 1/100$ et $P(V_2 | M) = 6/1000$

Il n'est pas possible pour un individu d'être vacciné deux fois $\implies$ indépendance $\implies$ $P(V_1 \cup V_2) = P(V_1) + P(V_2)$
$\begin{aligned}[t] P(M\, | \, {\overline{V_1}}) &= \frac{P(M\cap \overline{V_1})}{P(\overline{V_1})}\\ &= \frac{P(M)-P(M\cap V_1)}{1-P(V_1)}\\ &= \frac{P(M)-P(V_1 | M)\cdot P(M)}{1-P(V_1)}\\ &= \frac{P(M)(1-P(V_1 | M))}{1-P(V_1)}\\ &=\frac{P(M)\cdot 99/100}{3/4} \end{aligned}$
mais on ne donne pas $P(M)$ , donc on ne peut pas calculer $P(M\, | \, {\overline{V_1}})$
$P(V_1) = 0,25 \neq 0,01$
à poursuivre
…

Exercice 6 : Lors de la production d’un certain type de composants électroniques, chaque composant doit subir deux tests de qualité notés $Q_1$ et $Q_2$ . On prélève au hasard un composant dans la production.

On désigne par $A$ l’événement : « le composant échoue au test $Q_1$ »
On désigne par $B$ l’événement : « le composant échoue au test $Q_2$ ».

Une étude a montré que :

la probabilité qu’un composant échoue au test $Q_1$ est $P(A) = 0{,}15$ ;
la probabilité qu’un composant échoue au test $Q_2$ est $P(B) = 0{,}25$ ;
la probabilité qu’un composant ne présente aucun échec aux deux tests est $0{,}60$ .

Calculer la probabilité qu’un composant, prélevé au hasard dans la production, échoue à au moins un des deux tests $Q_1$ ou $Q_2$ .
Calculer la probabilité qu’un composant, prélevé au hasard dans la production, échoue aux deux tests $Q_1$ et $Q_2$ .
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Calculer la probabilité qu’un composant, prélevé au hasard dans la production, échoue à un seul des deux tests.
Calculer la probabilité qu’un composant, prélevé au hasard dans la production, échoue au test $Q_2$ , sachant qu’il échoue au test $Q_1$ .

Aide

Cet énoncé est conçu pour faire réviser (ou introduire) trois grandes notions fondamentales des probabilités :

Loi de De Morgan : elle apparaît implicitement dans la question 1 : Probabilité qu’un composant échoue à au moins un des deux tests $P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B})$ et $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
Indépendance : traitée dans la question 3, en comparant : $P(A \cap B) \overset{?}{=} P(A) \cdot P(B)$ C’est la définition même de l’indépendance de deux événements. L'exercice montre ici que les échecs ne sont pas indépendants, ce qui peut avoir un sens industriel (échec au test 1 qui favorise l'échec au test 2 ?).
Probabilité conditionnelle : abordée dans la question 5 : $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ Cela introduit la notion de dépendance entre événements : on veut savoir comment la connaissance d’un événement modifie la probabilité de l’autre.

En bonus :

La question 4 travaille aussi sur les intersections et compléments : $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$ Ce qui amène à réfléchir à la structure d’un événement complexe à l’aide d’opérations ensemblistes.

Bref, cet exercice permet d'aborder :

les opérations sur événements (complément, union, intersection),
la formule de la réunion,
les notions de dépendance / indépendance,
la probabilité conditionnelle.

Exercice 7 : Un sac contient trois boules rouges et deux boules jaunes. Une partie consiste à prélever deux boules successivement en replaçant la première boule tirée dans l'urne avant le deuxième tirage. On définit les évènements suivants:

$R$ : la boule tirée est rouge
$J$ : la boule tirée est jaune

Recopier sur votre copie et compléter l'arbre des probabilités suivant :
Chaque boule rouge tirée rapporte 2 euros. Chaque boule jaune fait perdre 1 euro. Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie. Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
Déterminer $P(X > 0)$ . Interpréter le résultat précédent.
Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

Solution

Exercice 8 : On lance un dé bien équilibré à 6 faces. Si on obtient $x\leq 4$ points sur la face supérieure, on gagne $1^2+2^2+3^2+\ldots+x^2$ euros. Si on obtient $x\geq 5$ points sur la face supérieure, on perd $x^2$ euros. Ce jeu est-il intéressant ?

Solution

Calculer les gains pour chaque valeur de $x$ de 1 à 4
Calculer les pertes pour chaque valeur de $x$ de 5 à 6
Calculer l'espérance mathématique

L'espérance mathématique de ce jeu est de -1,83 euros. Cela signifie que, sur le long terme, un joueur perdra en moyenne 1,83 euros par lancer. Par conséquent, ce jeu n'est pas intéressant pour le joueur.

Exercice 9 : Vrai ou faux ? justifier. (https://www.apmep.fr/Concours-Advance - Concours 2013)

Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue, il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs, sur la deuxième 1 vert et 9 blancs. Les gains, représentés par la variable aléatoire $X$ , sont les suivants :

5 euros si les deux roues tombent sur rouge et vert
2 euros si une seule des deux roues tombe sur blanc
1 euro si les deux roues tombent sur blanc

Alors :

$P(X=2)= \frac{17}{50}$
$P(X \geqslant 2) = \frac{37}{50}$
Si la mise est de 2 euros, la probabilité que le joueur soit bénéficiaire est
Si la mise est de 2,50 euros alors le bénéfice moyen par partie du forain est supérieur à 1 euro
Si le forain veut un bénéfice moyen par partie d'au moins 60 centimes alors il doit demander une mise de 2 euros

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Probabilités

Probabilités conditionnelles

Loi de De Morgan - Indépendance - Probabilité conditionnelle

Lois de probabilités et Variable aléatoire