Loi binomiale
Epreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles : un Succès (S) ou un Echec (E)
- La probabilité d'un succès est notée $p$
- La probabilité d'un échec est notée $q$
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est \(\boxed{\mathbf{E}(\text{X})=p}\)
Note : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire numérique \(X\) représente la moyenne des valeurs que \(X\) peut prendre. C'est donc la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à observer lors de la réalisation répétée de l'expérience associée à \(X\).
La variance d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est \(\boxed{V(X) = pq}\)
Note : La variance indique de quelle manière la variable aléatoire se disperse autour de son espérance (sa moyenne).
Loi binomiale de paramètre $n$ et $p$
Une loi binomiale modélise les expériences aléatoires obtenues à partir d'une répétition d'expériences identiques soumises à un succès ou à un échec.
- Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli \textbf{identiques} et \textbf{indépendantes}
- On s'intéresse au nombre de Succès dans la liste des résultats obtenus à la fin des $n$ épreuves.
Tirages indépendants signifie qu'un tirage soit réussi ou non n'a pas d'influence sur le fait que le suivant soit réussi ou non : c'est pour cela que les probabilités (conditionnelles) de réussite ou d'échec sur toutes les branches d'un arbre probabiliste sont les mêmes.
Formule générale
Probabilité de $k$ succès : $$P[X=k]=\text{C}_{n}^{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
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