Loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles : un Succès (S) ou un Echec (E)

La probabilité d'un succès est notée $p$
La probabilité d'un échec est notée $q$

On appelle loi de Bernoulli de paramètre p la loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est $\boxed{\mathbf{E}(\text{X})=p}$

Note : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire numérique $X$ représente la moyenne des valeurs que $X$ peut prendre. C'est donc la valeur moyenne que l'on peut s'attendre à observer lors de la réalisation répétée de l'expérience associée à $X$.

La variance d'une variable aléatoire de Bernoulli X de paramètre p est $\boxed{V(X) = pq}$

Note : La variance indique de quelle manière la variable aléatoire se disperse autour de son espérance (sa moyenne).

Une loi binomiale modélise les expériences aléatoires obtenues à partir d'une répétition d'expériences identiques soumises à un succès ou à un échec.

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
On s'intéresse au nombre de Succès dans la liste des résultats obtenus à la fin des $n$ épreuves.

Tirages indépendants signifie qu'un tirage soit réussi ou non n'a pas d'influence sur le fait que le suivant soit réussi ou non : c'est pour cela que les probabilités (conditionnelles) de réussite ou d'échec sur toutes les branches d'un arbre probabiliste sont les mêmes.

Formule générale

A chaque liste de $n$ résultats de la variable aléatoire X, on associe la nombre $k$ de succès.

Probabilité de $k$ succès : $$P[X=k]=\text{C}_{n}^{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

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Exercice 1 : A et B tirent des flèches sur une cible.

A tire 3 flèches rouges avec une probabilité de toucher la cible de 0.70.
B tire 2 flèches mauves avec une probabilité de toucher la cible de 0.60.
A tire d'abord ses 3 flèches, B tire ensuite.

Calculer les probabilités suivantes:

Toutes les flèches tirées ont touché la cible.
Aucune des flèches tirées ne se noue dans la cible.
Une seule flèche de tirée touche la cible et elle est rouge.
Une flèche de chaque couleur se trouve dans la cible.
Deux flèches rouges et une seule mauve se nouent dans la cible.
Aucune flèche mauve ne se trouve dans la cible.
Deux flèches ont touché la cible.
Au moins une flèche se trouve dans la cible.

Solutions

on modélise les tirs des flèches comme des épreuves de Bernoulli indépendantes :

Chaque flèche rouge (tirée par A) a une probabilité de 0,70 de toucher la cible.
Chaque flèche mauve (tirée par B) a une probabilité de 0,60 de toucher la cible.

Soit :

$ X_R \sim \mathcal{B}(3; 0{,}70) $ le nombre de flèches rouges qui touchent la cible.
$ X_M \sim \mathcal{B}(2; 0{,}60) $ le nombre de flèches mauves qui touchent la cible.

1. Toutes les flèches tirées ont touché la cible : $ X_R = 3 $ et $ X_M = 2 $ \[ P(X_R = 3) = 0{,}7^3 = 0{,}343 \ \ \text{et} \ P(X_M = 2) = 0{,}6^2 = 0{,}36 \implies P = 0{,}343 \times 0{,}36 = \boxed{0{,}12348} \]

2. Aucune des flèches tirées ne se noue dans la cible : $ X_R = 0 $ et $ X_M = 0 $ \[ P(X_R = 0) = (1 - 0{,}7)^3 = 0{,}3^3 = 0{,}027 \ \ \text{et} \ P(X_M = 0) = (1 - 0{,}6)^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16 \implies P = 0{,}027 \times 0{,}16 = \boxed{0{,}00432} \]

3. Une seule flèche de tirée touche la cible et elle est rouge : $ X_R = 1 $ et $ X_M = 0 $ \[ P(X_R = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3^2 = 3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}09 = 0{,}189 \ \ \text{et} \ P(X_M = 0) = 0{,}16 \implies P = 0{,}189 \times 0{,}16 = \boxed{0{,}03024} \]

4. Une flèche de chaque couleur se trouve dans la cible : $ X_R = 1 $ et $ X_M = 1 $ \[ P(X_R = 1) = 0{,}189 \quad (\text{voir ci-dessus}) \ \ \text{et} \ P(X_M = 1) = \binom{2}{1} \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 2 \cdot 0{,}24 = 0{,}48 \implies P = 0{,}189 \times 0{,}48 = \boxed{0{,}09072} \]

5. Deux flèches rouges et une seule mauve se nouent dans la cible : $ X_R = 2 $ et $ X_M = 1 $ \[ P(X_R = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 3 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}3 = 0{,}441 \ \ \text{et} \ P(X_M = 1) = 0{,}48 \quad (\text{voir ci-dessus}) \implies P = 0{,}441 \times 0{,}48 = \boxed{0{,}21168} \]

6. Aucune flèche mauve ne se trouve dans la cible : $ X_M = 0 $ \[ P = 0{,}16 \quad \boxed{0{,}16} \]

7. Deux flèches ont touché la cible : on additionne tous les cas où $ X_R + X_M = 2 $

$ X_R = 0, X_M = 2 $ : $ p_1 = 0{,}027 \cdot 0{,}36 = 0{,}00972 $
$ X_R = 1, X_M = 1 $ : $ p_2 = 0{,}189 \cdot 0{,}48 = 0{,}09072 $
$ X_R = 2, X_M = 0 $ : $ p_3 = 0{,}441 \cdot 0{,}16 = 0{,}07056 $

\[ P = p_1 + p_2 + p_3 = 0{,}00972 + 0{,}09072 + 0{,}07056 = \boxed{0{,}171} \]

8. Au moins une flèche se trouve dans la cible : complémentaire de aucune flèche ne touche $ \implies X_R = 0, X_M = 0 $ \[ P = 1 - 0{,}00432 = \boxed{0{,}99568} \]

Exercice 2 :

Une boîte A contient 8 pièces dont 3 sont défectueuses.
Une boîte B contient 5 pièces dont 2 sont défectueuses.

Une pièce est choisie au hasard dans chaque boîte. Calculer les probabilités suivantes:

Les 2 pièces ne sont pas défectueuses.
Une pièce est défectueuse, l'autre pas.
Au moins une pièce est défectueuse.

Solutions

1. Les deux pièces ne sont pas défectueuses

P(non défectueuse A) = 5/8
P(non défectueuse B) = 3/5
Donc : P = 5/8 × 3/5 = 15/40 = 3/8

2. Une pièce est défectueuse, l’autre pas

Deux cas possibles :
- A est défectueuse, B ne l’est pas : 3/8 × 3/5 = 9/40
- A ne l’est pas, B est défectueuse : 5/8 × 2/5 = 10/40
Donc : P = 9/40 + 10/40 = 19/40

3. Au moins une pièce est défectueuse

C’est le complément de « aucune pièce défectueuse » : P(aucune défectueuse) = 3/8
Donc : P = 1 - 3/8 = 5/8

Exercice 3 :

Loi binomiale

Epreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli

Loi binomiale de paramètre $n$ et $p$

Exercices