\(\newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)}\)
Probabilités conditionnelles
Exploration
Une enquête réalisée lors d'une assemblée internationale a montré que 60% des participants comprennent l'anglais, 45% l'espagnol et 15% les deux langues.
- Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans l'assemblée comprenne l'espagnol ?
- Que devient cette probabilité si vous savez déjà qu'elle comprend l'anglais ?
Diagramme de Venn
Les diagrammes d'Euler, de Venn et de Carroll sont des schémas géométriques utilisés pour représenter des relations logico-mathématiques. Créés pour visualiser la structure logique des syllogismes, ils sont couramment utilisés pour l'étude des relations entre ensembles.
Définition
La probabilité conditionnelle est un concept fondamental en théorie des probabilités qui permet de mesurer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est produit. Elle est souvent notée \( P(B ~ \vert ~ A) \), qui se lit “la probabilité de \( B \) sachant \( A \)”.
Si nous savons que l'événement A est réalisé, nous pouvons alors calculer la probabilité de B sachant que A est réalisé en “éliminant” $\overline{\textbf{A}}$ et en calculant uniquement avec la partie gauche du diagramme de Caroll.
La formule qui permet donc de calculer la probabilité conditionnelle de B sachant A est \[P(B ~ \vert ~ A)= \dfrac{P( A \cap B)}{P(A)}\]
Nous écrirons parfois : $P( A \cap B) = P(B~ \vert ~A) \cdot P(A) $
Les nuances du langage en probabilité conditionnelle
- Les expressions “ sachant que… ”, “ quand… ”, “ lorsque… ”, “ parmi… ” sont souvent utilisées pour donner une probabilité conditionnelle.
- En effet, ces expressions annoncent que l'univers change, qu'il n'est qu'une partie de l'univers initial.
- C'est ce nouvel univers qui exprime le conditionnement et qui sera noté derrière la barre verticale.
Exemple : “Parmi les élèves de 6ème, la probabilité que ce soit une fille vaut $\frac7{20}$” correspond à une probabilité conditionnelle.
Arbre de probabilité
Règles de l'arbre pondéré
- la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut 1 : \(P\Par{A\,\lvert\,B}+P\Par{\overline{A}\,\lvert\,B}=1;\)
- la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des différentes branches qui constituent ce chemin : $$P(A \cap B) = P\Par{A\,\lvert\,B} \cdot P(B)$$
- Cette formule permet de calculer la probabilit\'e de l'événement $A \cap B$ connaissant $P\Par{A\,\lvert\,B}$ et $P(B)$
Formule des probabilités totales
- Il faut reconnaître un système complet d'événements : $A_1$, $A_2$, $A_3$
- On utilise un arbre pondéré pour exploiter les hypothèses
\begin{align*}
P(E) &= P\Par{A_1 \cap E} + P\Par{A_2 \cap E} + P\Par{A_3 \cap E} \\
&= P\Par{E\,\lvert\, A_1} \cdot P(A_1) + P\Par{E\,\lvert\, A_2} \cdot P(A_2) + P\Par{E\,\lvert\, A_2} \cdot P(A_2)
\end{align*}
Complément graphique
Théorème de Bayes
$$P\Par{A\,\lvert\, B} = \dfrac{P\Par{A\cap B}}{P\Par{B}} = {\frac {P\Par{B\,\lvert\, A}\cdot P(A)}{P\Par{B\,\lvert\, A}\cdot P(A)+P\Par{B\,\lvert\, {\overline A}}\cdot P({\overline A})}}$$
Indépendance
Lorsque les événements A et B sont indépendants, cela signifie que la connaissance de la réalisation de l'événement A n'a aucune influence sur la réalisation de l'événement B. Dans ce cas nous avons $P(B~ \vert ~A) = P(B)$, d'où nous déduisons :
A et B sont indépendants si et seulement si
Etude de l'indépendance de deux événements
On compare $P\Par{A \cap B}$ et $P\Par{A}\cdot P\Par{B}$ ou $P\Par{A \,\lvert\, B}$ et $P\Par{A}$ ou $P\Par{B \,\lvert\, A}$ et $P\Par{B}$. En cas d'égalité, les événements sont indépendants.
Dans un certain nombre de cas, l'indépendance est une donnée du problème
- Si nous jouons à Pair/Impair, à la roulette, la chance de gain est de $\frac{1}{2}$. Il est clair que si nous jouons trois fois de suite, chaque jeu est indépendant. Ainsi, la chance de gagner trois fois de suite sera \[P=P(G_1\cap G_2 \cap G_3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\] De façon général, si nous jouons de façon répétée à un jeu, chaque partie sera indépendante.
- On fait l'hypothèse que chacun des moteurs d'un avion bi-moteur tombe en panne avec une probabilité de $0,0001$ et ceci de façon indépendant de l'autre moteur. On voudrait déterminer la probabilité que l'avion arrive à bon port (en supposant en plus qu'il peut voler avec un seul moteur). Pour cela on peut considérer les événements : $M_1$ : “Le premier moteur tombe en panne” puis $M_2$ : “ Le deuxième moteur tombe en panne ”. On sait par hypothèse que ces événements sont indépendants, donc \[P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=10^{-4}\times 10^{-4}=10^{-8}\] La probabilité demandée est donc la probabilité de l'événement $\overline{A\cap B}$ : \[P(\overline{A\cap B})=1-10^{-8}=0,999\:999\:99\]
- On peut remarquer qu'il est possible de construire un arbre pondéré sur la base d'événements indépendants. Si nous lançons par exemple deux pièces de monnaie, nous pouvons dresser l'arbre pondéré suivant :
Applications directes
Application 1 : Deux étudiants cherchent la solution d'un problème sans se consulter. Le premier a une probabilité de 0,8 et le second de 0,3 de trouver la solution. Quelle est la probabilité que le problème ne soit pas résolu ?
Application 2 : Le tableau suivant donne la répartition de 150 stagiaires en fonction de la langue choisie et de l'activité sportive choisie.
| Tennis | Equitation | Voile | |
|---|---|---|---|
| Anglais | 45 | 18 | 27 |
| Allemand | 33 | 9 | 18 |
- Les événements « étudier l'allemand » et « pratiquer le tennis » sont-ils indépendants ?
- Les événements « étudier l'anglais » et « pratiquer la voile » sont-ils indépendants ?
Applications directes et méthodologie
Exercice 3 : Une mère a deux enfants. On sait que l’un d’eux est un garçon. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?
Exercice 4 : Une mère a deux enfants. On sait que l’un d’eux est un garçon né un lundi. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?
