1. Modélisation du problème
   • Chaque enfant peut être un garçon (G) ou une fille (F) avec une probabilité égale de $\frac{1}{2}$.
   • Les sexes des deux enfants sont indépendants : connaître le sexe de l’un n’influence pas le sexe de l’autre.
   • Cela signifie que chaque combinaison des sexes est équiprobable avec une probabilité de : $$P(GG) = P(GF) = P(FG) = P(FF) = \frac{1}{4}.$$
2. Prise en compte de l'information “On sait qu'un enfant est un garçon” : on élimine le cas impossible (F, F) et on ne considère que les trois cas restants :
   • (G, G) : $\frac{1}{4}$
   • (G, F) : $\frac{1}{4}$
   • (F, G) : $\frac{1}{4}$
3. La nouvelle probabilité est donc normalisée sur ces trois cas restants. La probabilité conditionnelle que les deux enfants soient des garçons est : $$\begin{align*} P(GG \mid \text{au moins un garçon}) &= \frac{P(GG \cap \text{au moins un garçon})}{P(\text{au moins un garçon})} \\ &= \frac{P(GG)}{P(GG) + P(GF) + P(FG)} \\ &= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}\end{align*}$$

Remarque : Pourquoi $P(GG)$ est suffisant au numérateur ?

Si les deux enfants sont des garçons, alors il y a forcément au moins un garçon. Cela signifie que l'événement (GG) est un sous-ensemble de l’événement “au moins un garçon”.

Autrement dit : $$P(GG \cap \text{au moins un garçon}) = P(GG).$$ C'est pour cela que l'on met simplement $P(GG)$ au numérateur.

Rôle de l’indépendance : l’indépendance permet de :

• Assurer que les combinaisons (G, G), (G, F), (F, G) sont initialement équiprobables.
• Justifier que le fait de savoir qu'un enfant est un garçon n'affecte pas la probabilité qu’un deuxième enfant soit un garçon dans chaque cas.
• Permettre un raisonnement purement basé sur l’élimination des cas impossibles, sans modifier la distribution initiale des sexes.

Notons :

• “un garçon” par $G$ et donc “une fille” par $\overline{G}$
• “un garçon né un lundi” par $G_L$
• “un garçon né un autre jour” par $G_{\overline{L}}$

On cherche la probabilité que la configuration soit (G, G) sachant qu’un garçon est né un lundi : $$P(GG \mid \text{au moins un garçon né un lundi}) = \frac{P(GG \cap \text{au moins un garçon né un lundi})}{P(\text{au moins un garçon né un lundi})}$$

1. Il y a 7 jours dans une semaine, donc chaque enfant a une probabilité de $\frac{1}{7}$ d'être né un lundi.
2. La probabilité qu'un enfant soit un garçon est $\frac{1}{2}$.
3. La probabilité qu'un enfant soit un garçon né un lundi est $P(G_L) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{14}$
4. La probabilité qu'un enfant soit un garçon né un autre jour est $P(G_{\overline{L}}) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{7}$
5. La probabilité qu'un enfant soit une fille $P(\overline{G}) = \frac{1}{2}$

Voici un diagramme en arbre qui illustre les différentes combinaisons possibles pour les deux enfants

1. Niveau 1 : Le premier enfant peut être un garçon né un lundi, un garçon né un autre jour, ou une fille.
2. Niveau 2 : Pour chaque cas du premier enfant, de façon indépendante, le deuxième enfant peut également être un garçon né un lundi, un garçon né un autre jour, ou une fille.

Les poids sur les flèches représentent les probabilités associées à chaque transition. Ces chemins illustrent les scénarios menant à tous les cas possibles.

Calculons les probabilités au numérateur et au dénominateur :

• Probabilité qu'au moins un enfant soit un garçon né un lundi : $$\begin{align*}P(\text{au moins un garçon né un lundi}) &= P(G_L~;~G_L) + P(G_L~;~G_{\overline{L}}) + P(G_L~;~\overline{G}) + P(G_{\overline{L}}~;~G_L) + P(\overline{G}~;~G_L)\\ &= \frac{1}{196}+\frac{3}{98}+\frac{1}{28}+\frac{3}{98}+\frac{1}{28} \\ &= \frac{27}{196}\end{align*}$$
• Probabilité que les deux enfants soient des garçons, avec au moins un né un lundi : $$\begin{align*} P(GG \cap \text{au moins un garçon né un lundi}) &= P(G_L~;~G_L) + P(G_L~;~G_{\overline{L}}) + P(G_{\overline{L}}~;~G_L) \\ &= \frac{1}{196}+\frac{3}{98}+\frac{3}{98} \\ &= \frac{13}{196}\end{align*}$$

Probabilité finale : $$P(\text{Deux garçons} \mid \text{Au moins un garçon né lundi}) = \frac{\frac{13}{196}}{\frac{27}{98}} = \frac{13}{27}$$

Conclusion, la probabilité que les deux enfants soient des garçons, sachant qu'au moins l'un d'eux est un garçon né un lundi, est de $\frac{13}{27}$, soit environ $48.15\%$.

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  edge from parent/.style={draw, -{Stealth[]}, shorten >=2pt, shorten <=2pt}
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\begin{tikzpicture}[grow'=right,right,color=blue!70!black]
  \node {\(\blacksquare\)}
    child {node {$G_L$}
      child {node {$G_L$}
        child {node {$P(G_L~;~G_L)=\frac{1}{196}$} edge from parent[draw=none]}
        edge from parent node[above left] {\small $\frac{1}{2}\times\frac{1}{7}=\frac{1}{14}$}
      }
      child {node {$G_{\overline{L}}$}
        child {node {$P(G_L~;~G_{\overline{L}})=\frac{3}{98}$} edge from parent[draw=none]}
        edge from parent node[above] {\small $\frac{3}{7}$}
      }
      child {node {$\overline{G}$}
        child {node {$P(G_L~;~\overline{G})=\frac{1}{28}$} edge from parent[draw=none]}
        edge from parent node[above] {\small $\frac{1}{2}$}
      }
      edge from parent node[above left] {\small $\frac{1}{2}\times\frac{1}{7}=\frac{1}{14}$}
    }
    child {node {$G_{\overline{L}}$}
      child {node {$G_L$}
        child {node {$P(G_{\overline{L}}~;~G_L) = \frac{3}{98}$} edge from parent[draw=none]}
        edge from parent node[above] {\small $\frac{1}{14}$}
      }
      child {node {$G_{\overline{L}}$}
        child {node {$P(G_{\overline{L}}~;~G_{\overline{L}}) = \frac{9}{49}$} edge from parent[draw=none]}
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      }
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        child {node {$P(G_{\overline{L}}~;~\overline{G}) = \frac{3}{14}$} edge from parent[draw=none]}
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      edge from parent node[above] {\small $\frac{1}{2}\times\frac{6}{7}=\frac{3}{7}$}
    }
    child {node {$\overline{G}$}
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        child {node {$P(\overline{G}~;~G_L) = \frac{1}{28}$} edge from parent[draw=none]}
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      }
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      }
      child {node {$\overline{G}$}
        child {node {$P(\overline{G}~;~\overline{G})=\frac{1}{4}$} edge from parent[draw=none]}
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      edge from parent node[left] {\small $\frac{1}{2}$}
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