Probabilités conditionnelles

$\newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)}$

Une enquête réalisée lors d'une assemblée internationale a montré que 60% des participants comprennent l'anglais, 45% l'espagnol et 15% les deux langues.

Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans l'assemblée comprenne l'espagnol ?
Que devient cette probabilité si vous savez déjà qu'elle comprend l'anglais ?

Les diagrammes d'Euler, de Venn et de Carroll sont des schémas géométriques utilisés pour représenter des relations logico-mathématiques. Créés pour visualiser la structure logique des syllogismes, ils sont couramment utilisés pour l'étude des relations entre ensembles.

La probabilité conditionnelle est un concept fondamental en théorie des probabilités qui permet de mesurer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est produit. Elle est souvent notée $ P(B ~ \vert ~ A) $, qui se lit “la probabilité de $ B $ sachant $ A $”. Si nous savons que l'événement A est réalisé, nous pouvons alors calculer la probabilité de B sachant que A est réalisé en “éliminant” $\overline{\textbf{A}}$ et en calculant uniquement avec la partie gauche du diagramme de Caroll.

La formule qui permet donc de calculer la probabilité conditionnelle de B sachant A est \[P(B ~ \vert ~ A)= \dfrac{P( A \cap B)}{P(A)}\]

Nous écrirons parfois : $P( A \cap B) = P(B~ \vert ~A) \cdot P(A) $

Les nuances du langage en probabilité conditionnelle

Les expressions “ sachant que… ”, “ quand… ”, “ lorsque… ”, “ parmi… ” sont souvent utilisées pour donner une probabilité conditionnelle.
En effet, ces expressions annoncent que l'univers change, qu'il n'est qu'une partie de l'univers initial.
C'est ce nouvel univers qui exprime le conditionnement et qui sera noté derrière la barre verticale.

Exemple : “Parmi les élèves de 6ème, la probabilité que ce soit une fille vaut $\frac7{20}$” correspond à une probabilité conditionnelle.

la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut 1 : $P\Par{A\,\lvert\,B}+P\Par{\overline{A}\,\lvert\,B}=1;$
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des différentes branches qui constituent ce chemin : $$P(A \cap B) = P\Par{A\,\lvert\,B} \cdot P(B)$$
- Cette formule permet de calculer la probabilit\'e de l'événement $A \cap B$ connaissant $P\Par{A\,\lvert\,B}$ et $P(B)$

Il faut reconnaître un système complet d'événements : $A_1$, $A_2$, $A_3$
On utilise un arbre pondéré pour exploiter les hypothèses

\begin{align*} P(E) &= P\Par{A_1 \cap E} + P\Par{A_2 \cap E} + P\Par{A_3 \cap E} \\ &= P\Par{E\,\lvert\, A_1} \cdot P(A_1) + P\Par{E\,\lvert\, A_2} \cdot P(A_2) + P\Par{E\,\lvert\, A_2} \cdot P(A_2) \end{align*}

$$P\Par{A\,\lvert\, B} = \dfrac{P\Par{A\cap B}}{P\Par{B}} = {\frac {P\Par{B\,\lvert\, A}\cdot P(A)}{P\Par{B\,\lvert\, A}\cdot P(A)+P\Par{B\,\lvert\, {\overline A}}\cdot P({\overline A})}}$$

Lorsque les événements A et B sont indépendants, cela signifie que la connaissance de la réalisation de l'événement A n'a aucune influence sur la réalisation de l'événement B. Dans ce cas nous avons $P(B~ \vert ~A) = P(B)$, d'où nous déduisons :

A et B sont indépendants si et seulement si

$$P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

On compare $P\Par{A \cap B}$ et $P\Par{A}\cdot P\Par{B}$ ou $P\Par{A \,\lvert\, B}$ et $P\Par{A}$ ou $P\Par{B \,\lvert\, A}$ et $P\Par{B}$. En cas d'égalité, les événements sont indépendants.

Dans un certain nombre de cas, l'indépendance est une donnée du problème

Si nous jouons à Pair/Impair, à la roulette, la chance de gain est de $\frac{1}{2}$. Il est clair que si nous jouons trois fois de suite, chaque jeu est indépendant. Ainsi, la chance de gagner trois fois de suite sera \[P=P(G_1\cap G_2 \cap G_3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\] De façon général, si nous jouons de façon répétée à un jeu, chaque partie sera indépendante.
On fait l'hypothèse que chacun des moteurs d'un avion bi-moteur tombe en panne avec une probabilité de $0,0001$ et ceci de façon indépendant de l'autre moteur. On voudrait déterminer la probabilité que l'avion arrive à bon port (en supposant en plus qu'il peut voler avec un seul moteur). Pour cela on peut considérer les événements : $M_1$ : “Le premier moteur tombe en panne” puis $M_2$ : “ Le deuxième moteur tombe en panne ”. On sait par hypothèse que ces événements sont indépendants, donc \[P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=10^{-4}\times 10^{-4}=10^{-8}\] La probabilité demandée est donc la probabilité de l'événement $\overline{A\cap B}$ : \[P(\overline{A\cap B})=1-10^{-8}=0,999\:999\:99\]
On peut remarquer qu'il est possible de construire un arbre pondéré sur la base d'événements indépendants. Si nous lançons par exemple deux pièces de monnaie, nous pouvons dresser l'arbre pondéré suivant :

Application 1 : Deux étudiants cherchent la solution d'un problème sans se consulter. Le premier a une probabilité de 0,8 et le second de 0,3 de trouver la solution. Quelle est la probabilité que le problème ne soit pas résolu ?

Application 2 : Le tableau suivant donne la répartition de 150 stagiaires en fonction de la langue choisie et de l'activité sportive choisie.

	Tennis	Equitation	Voile
Anglais	45	18	27
Allemand	33	9	18

Les événements « étudier l'allemand » et « pratiquer le tennis » sont-ils indépendants ?
Les événements « étudier l'anglais » et « pratiquer la voile » sont-ils indépendants ?

Exercice 3 : Une mère a deux enfants. On sait que l’un d’eux est un garçon. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?

Solution

Modélisation du problème
- Chaque enfant peut être un garçon (G) ou une fille (F) avec une probabilité égale de $ \frac{1}{2} $.
- Les sexes des deux enfants sont indépendants : connaître le sexe de l’un n’influence pas le sexe de l’autre.
- Cela signifie que chaque combinaison des sexes est équiprobable avec une probabilité de : $$ P(GG) = P(GF) = P(FG) = P(FF) = \frac{1}{4}. $$
Prise en compte de l'information “On sait qu'un enfant est un garçon” : on élimine le cas impossible (F, F) et on ne considère que les trois cas restants :
- (G, G) : $ \frac{1}{4} $
- (G, F) : $ \frac{1}{4} $
- (F, G) : $ \frac{1}{4} $
La nouvelle probabilité est donc normalisée sur ces trois cas restants. La probabilité conditionnelle que les deux enfants soient des garçons est : \begin{align*} P(GG \mid \text{au moins un garçon}) &= \frac{P(GG \cap \text{au moins un garçon})}{P(\text{au moins un garçon})} \\ &= \frac{P(GG)}{P(GG) + P(GF) + P(FG)} \\ &= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}\end{align*}

Remarque : Pourquoi $ P(GG) $ est suffisant au numérateur ?

Si les deux enfants sont des garçons, alors il y a forcément au moins un garçon. Cela signifie que l'événement (GG) est un sous-ensemble de l’événement “au moins un garçon”.

Autrement dit : \[ P(GG \cap \text{au moins un garçon}) = P(GG). \] C'est pour cela que l'on met simplement $ P(GG) $ au numérateur.

Rôle de l’indépendance : l’indépendance permet de :

Assurer que les combinaisons (G, G), (G, F), (F, G) sont initialement équiprobables.
Justifier que le fait de savoir qu'un enfant est un garçon n'affecte pas la probabilité qu’un deuxième enfant soit un garçon dans chaque cas.
Permettre un raisonnement purement basé sur l’élimination des cas impossibles, sans modifier la distribution initiale des sexes.

Exercice 4 : Une mère a deux enfants. On sait que l’un d’eux est un garçon né un lundi. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?

Solution

Notons :

“un garçon” par $G$ et donc “une fille” par $\overline{G}$
“un garçon né un lundi” par $G_L$
“un garçon né un autre jour” par $G_{\overline{L}}$

On cherche la probabilité que la configuration soit (G, G) sachant qu’un garçon est né un lundi : \[ P(GG \mid \text{au moins un garçon né un lundi}) = \frac{P(GG \cap \text{au moins un garçon né un lundi})}{P(\text{au moins un garçon né un lundi})} \]

Il y a 7 jours dans une semaine, donc chaque enfant a une probabilité de $ \frac{1}{7} $ d'être né un lundi.
La probabilité qu'un enfant soit un garçon est $ \frac{1}{2} $.
La probabilité qu'un enfant soit un garçon né un lundi est $P(G_L) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{14} $
La probabilité qu'un enfant soit un garçon né un autre jour est $ P(G_{\overline{L}}) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{7} $
La probabilité qu'un enfant soit une fille $ P(\overline{G}) = \frac{1}{2} $

Voici un diagramme en arbre qui illustre les différentes combinaisons possibles pour les deux enfants

Niveau 1 : Le premier enfant peut être un garçon né un lundi, un garçon né un autre jour, ou une fille.
Niveau 2 : Pour chaque cas du premier enfant, de façon indépendante, le deuxième enfant peut également être un garçon né un lundi, un garçon né un autre jour, ou une fille.

Les poids sur les flèches représentent les probabilités associées à chaque transition. Ces chemins illustrent les scénarios menant à tous les cas possibles.

Calculons les probabilités au numérateur et au dénominateur :

Probabilité qu'au moins un enfant soit un garçon né un lundi : \begin{align*}P(\text{au moins un garçon né un lundi}) &= P(G_L~;~G_L) + P(G_L~;~G_{\overline{L}}) + P(G_L~;~\overline{G}) + P(G_{\overline{L}}~;~G_L) + P(\overline{G}~;~G_L)\\ &= \frac{1}{196}+\frac{3}{98}+\frac{1}{28}+\frac{3}{98}+\frac{1}{28} \\ &= \frac{27}{196}\end{align*}
Probabilité que les deux enfants soient des garçons, avec au moins un né un lundi : \begin{align*} P(GG \cap \text{au moins un garçon né un lundi}) &= P(G_L~;~G_L) + P(G_L~;~G_{\overline{L}}) + P(G_{\overline{L}}~;~G_L) \\ &= \frac{1}{196}+\frac{3}{98}+\frac{3}{98} \\ &= \frac{13}{196}\end{align*}

Probabilité finale : \[ P(\text{Deux garçons} \mid \text{Au moins un garçon né lundi}) = \frac{\frac{13}{196}}{\frac{27}{98}} = \frac{13}{27} \]

Conclusion, la probabilité que les deux enfants soient des garçons, sachant qu'au moins l'un d'eux est un garçon né un lundi, est de $\frac{13}{27}$, soit environ $48.15\%$.

figure

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\begin{document}
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\begin{tikzpicture}[grow'=right,right,color=blue!70!black]
  \node {\(\blacksquare\)}
    child {node {$G_L$}
      child {node {$G_L$}
        child {node {$P(G_L~;~G_L)=\frac{1}{196}$} edge from parent[draw=none]}
        edge from parent node[above left] {\small $\frac{1}{2}\times\frac{1}{7}=\frac{1}{14}$}
      }
      child {node {$G_{\overline{L}}$}
        child {node {$P(G_L~;~G_{\overline{L}})=\frac{3}{98}$} edge from parent[draw=none]}
        edge from parent node[above] {\small $\frac{3}{7}$}
      }
      child {node {$\overline{G}$}
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      edge from parent node[above left] {\small $\frac{1}{2}\times\frac{1}{7}=\frac{1}{14}$}
    }
    child {node {$G_{\overline{L}}$}
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      child {node {$\overline{G}$}
        child {node {$P(\overline{G}~;~\overline{G})=\frac{1}{4}$} edge from parent[draw=none]}
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      }
      edge from parent node[left] {\small $\frac{1}{2}$}
    };
\end{tikzpicture}
\end{document}

Probabilités conditionnelles

Exploration

Diagramme de Venn

Définition

Arbre de probabilité

Règles de l'arbre pondéré

Formule des probabilités totales

Complément graphique

Théorème de Bayes

Indépendance

Etude de l'indépendance de deux événements

Applications directes

Applications directes et méthodologie