Notions de base et Vocabulaire

Définitions

Expérience aléatoire : Expérience qui a plusieurs résultats possibles et dont la réalisation de chacun des résultats est due au hasard.
Catégorie d'épreuve ($\Omega \rightarrow$ Oméga) : Ensemble de tous les résultats possibles, donc tous les événements élémentaires liés à une expérience aléatoire.
Événement élémentaire ou encore Issue : Chaque événement possible de la catégorie d'épreuve.
Événement A : Tout ou une partie de l'ensemble des résultats possibles (de sa catégorie d'épreuve).
Évènement certain : ($\Omega$) : Évènement qui se produit toujours !

Conditions :

Reproductible dans des conditions équivalentes.
On peut caractériser l'ensemble de tous les résultats possibles.
Régularité statistique pour un grand nombre de répétitions.

Exemple : Jeter 2 dés discernables et observer la somme

Catégorie d'épreuve $\Omega = \{2,3,\ldots,12\}$
Nombre d'éléments dans $\Omega$ : $\# \Omega = 11$
Événement élémentaire : E = “obtenir un total égal à 9” et $\#E=1$
Événement A : A=“Obtenir un total impair”$=\{3,5,7,9,11\}\subseteq \Omega$ et $\#A=5$
Évènement certain : F=“obtenir un total inférieur ou égal à 12” et $\#F = 11$

Vocabulaire ensembliste :

L'événement certain ($\Omega$) se produit toujours ;
et l'événement impossible ($\emptyset$) ne se produit jamais.

On peut appliquer des opérations ensemblistes aux événements :

L'événement $A \cap B$ se produit si les événements $A$ et $B$ se produisent simultanément ;
L'événement $A \cup B$ se produit si l'événement $A$ ou l'événement $B$ se produit ;
Et l'événement $A \setminus B$ se produit si l'événement $A$ se produit sans que l'événement $B$ ne se produise.

Probabilité d'un événement

Nombre qui mesure la “chance” qu'a un événement A de se produire
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut $1$
La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent
En cas d'équiprobabilité : $ P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} $

Axiomatique de Kolmogorov

Soit $\cal E$ une expérience aléatoire (une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend entièrement du hasard et dont les résultats possibles sont connus), d'univers $\Omega$ et $A$ un évènement.

La probabilité d'un évènement $A$ est notée $P(A)$ et cette application vérifie les propriétés :

Axiome 1 : $\forall A\subset \Omega\ :\ 0\leq \text{P}(A) \leq 1$
Axiome 2 : $\text{P}(\Omega) = 1$
Axiome 3 : Si $A\cap B=\emptyset$, alors : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Exemple : Jeter 2 dés discernables et observer la somme

Loi de probabilité :

Somme	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
Probabilité	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Somme des probabilités de tous les événements élémentaires : \[\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}+\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36}+\frac{4}{36}+\frac{3}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36} = 1\]
F=“obtenir un total inférieur ou égal à 12” : $\text{P}(F) = 1 \qquad \text{{axiome 2 de Kolmogorov} : } {\text{P}(\Omega) = 1}$

Définitions

Évènements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.
On a alors $A \cap B = \emptyset$ et $P( A \cap B ) = 0$.
- Si A et B sont incompatibles alors $P( A \cup B ) = P( A ) + P( B )$
Dans le cas général : $P( A \cup B ) + P( A \cap B ) = P( A ) + P( B )$. Par conséquent : $$P( A \cup B ) = P( A ) + P( B ) - P( A \cap B )$$
L' événement contraire de l'événement A est formé des issues qui ne réalisent pas A. On le note $\overline{A}$ et \[P( \overline{A} ) = 1 - P( A )\]