Angles associés et identités trigonométriques
- Les formules des angles associés en trigonométrie sont très utiles pour simplifier des expressions trigonométriques, résoudre des équations trigonométriques, et effectuer des calculs trigonométriques plus rapidement et efficacement.
- Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation.
Ces identités peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive ). Elles constituent donc une boîte à outils utile pour la résolution de problèmes.
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Angles opposés
\begin{align} \sin(x) & = -\sin(-x) \\ \cos(x) & = \cos(-x) \\ \tan(x) & = -\tan(-x) \\ \cot(x) & = -\cot(-x) \end{align}
Angles complémentaires
\begin{align} \sin(x) & = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ \cos(x) & = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ \tan(x) & = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ \cot(x) & = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \end{align}
Angles supplémentaires
\begin{align} \sin(x) & = \sin\left(\pi - x\right) \\ \cos(x) & = -\cos\left(\pi - x\right) \\ \tan(x) & = -\tan\left(\pi - x\right) \\ \cot(x) & = -\cot\left(\pi - x\right) \end{align}
Angles anti-supplémentaires
\begin{align} \sin(x) & = -\sin(\pi+x) \\ \cos(x) & = -\cos(\pi+x) \\ \tan(x) & = \tan(\pi+x) \\ \cot(x) & = \cot(\pi+x) \end{align}
Identités trigonométriques de base
- $\sin^2 {x} + \cos^2 {x} = 1$ (Pythagore)
- $1 + \tan^2 {x} = \sec^2 {x}$ où $\sec \left(x\right) = \frac{1}{\cos \left(x\right)}$ (la fonction sécante notée $\sec \theta$ est définie par $\frac{1}{\cos \theta}$)
- $1 + \cot^2 {x} = \csc^2 {x}$ où $\csc \left(x\right) = \frac{1}{\sin \left(x\right)}$ (la fonction cosécante notée $\csc \theta$ est définie par $\frac{1}{\sin \theta}$)