Résolution d'équations trigonométriques

Compétences : Calculer (déterminer, estimer, approximer)

1. Un angle par une méthode routinière;
2. L'ensemble des solutions d'une équation, d'une inéquation trigonométrique, comportant au plus un seul paramètre, avec extension à d'autres équations par itérations.

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1er cas : l'équation est élémentaire :

Si \(-1 \leq a \leq 1\) et \(-1 \leq b \leq 1\), on a :

Exemple : résoudre \(2\cos(2x) + 1 = 0\)

\[ \begin{align*} 2\cos(2x) + 1 = 0 & \iff \cos(2x) = -\frac{1}{2} \quad \text{(équation élémentaire)} \\ & \iff \cos(2x) = \cos \frac{2\pi}{3} \quad \text{(angles opposés)} \\ & \iff 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{Ensemble des solutions : } S & = \left\{ \frac{\pi}{3} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{3} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \end{align*} \]

2ème cas : L’équation se ramène à une équation élémentaire grâce aux propriétés des angles associés.

Exemple : résoudre \(\tan 2x = \cot x\)

\[ \begin{align*} \text{CE : } 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi & \iff x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \quad \text{et} \quad x \neq k\pi. \\ \cot x = \tan \left( \frac{\pi}{2} - x \right) & \quad \text{car } x \text{ et } \frac{\pi}{2} - x \text{ sont deux angles complémentaires} \\ \tan 2x = \cot x & \iff \tan 2x = \tan \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \\ & \iff 2x = \frac{\pi}{2} - x + k\pi \\ & \iff 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ & \iff x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3} \\ \text{Ensemble des solutions : } S & = \left\{ \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}. \end{align*} \]

3ème cas : Équations produits \(u(x) \cdot v(x) = 0 \iff u(x) = 0 \text{ ou } v(x) = 0\) (règle du produit nul)

Exemple : résoudre \((1 - 2 \sin x)( \tan (3x) + 1) = 0\)

\[ \begin{cases} 1 - 2 \sin x = 0 \\ \tan (3x) + 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \tan 3x = -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(à écarter)} \\ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{(à écarter)} \\ x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3} \end{cases} \]

\[ S = \left\{ -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]

4ème cas : Équation du deuxième degré.

Si l'équation est du deuxième degré en \(\sin x\), \(\cos x\) ou \(\tan x\), on pose \(\sin x = y\), \(\cos x = y\) ou \(\tan x = y\). On résout ensuite l'équation du deuxième degré en \(y\) et on est ainsi ramené à des équations élémentaires.

Exemple : résoudre \(2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0\)

On pose \(y = \cos x\) :

\[ \begin{aligned} 2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0 & \iff 2y^2 + 5y + 2 = 0 \\ & \iff 2(y+2)(y+\frac{1}{2}) = 0 \\ & \iff y = -2 \quad \text{ou} \quad y = -\frac{1}{2} \\ & \iff \cos x = -2 \quad \text{(à écarter)} \quad \text{ou} \quad \cos x = -\frac{1}{2} \\ \end{aligned} \]

Finalement, \(S = \left\{ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)