Exercices de trigonométrie non triés

Exercice 1 : Linéariser $\sin x \cdot \sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x\right)$ et $\sin x \cdot \sin \left( \dfrac{\pi }{3}-x\right) \cdot \sin \left( \dfrac{\pi }{3}+x\right)$. En déduire, par exemple, $\sin 20^{\circ} \cdot \sin 40^{\circ} \cdot \sin 80^{\circ}.$

Solution

Exercice 2 : Calculer le produit : $\tan 1^{\circ} \times \tan 2^{\circ} \times \cdots \times \tan 89^{\circ}$.

Solution

$\tan 1^{\circ} \times \tan 2^{\circ} \times \cdots \times \tan 89^{\circ} = (\tan 1^\circ \times \tan 89^\circ) \times (\tan 2^\circ \times \tan 88^\circ) \times \cdots \times \tan 45^\circ = 1$

note : $\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$ et $\tan(x) \times \cot(x) = 1$

Exercice 3 : Sachant que les réels $a,b,c$ sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique, montrer que \[\frac{\sin(a)+\sin(b)+\sin(c)}{\cos(a)+\cos(b)+\cos(c)}=\tan(b)\]

Solution

aide : commencer par écrire $a=b-r$ et $c=b+r$