Fonctions trigonométriques
La fonction sinusoïdale est une fonction mathématique qui représente une variation périodique et continue. Elle est souvent utilisée pour décrire des phénomènes cycliques tels que les mouvements des vagues, les oscillations électriques, les variations de température, etc. La forme générale de la fonction sinusoïdale est $$y = A \cdot \sin \left(B \left(x - C\right)\right)+D$$ où $A$ est l'amplitude (valeur de crête, toujours positive), $B$ est la pulsation (nombre de cycles par unité de temps, liée à la période $T=\tfrac{2\pi}{|B|}$ du signal, inverse de sa fréquence $f$ en Hertz) et $C$ est le déphasage (décalage horizontal de la courbe).
En physique, cette fonction est décrite par la relation $f(t) = A\cdot \sin \left(\omega t + \varphi\right)+D$ où $\varphi$ représente la phase à l'origine. Le déphasage s'obtient en résolvant l'équation $\omega t + \varphi=0$ : le déphasage vaut donc $-\frac{\varphi}{\omega}$.
Exercices
Exercice 1 : Le phénomène des marées peut être modélisé par les fonctions sinusoïdales. Dans un port marin, la profondeur de l'eau varie en fonction des marées. La profondeur de l'eau varie entre 3m (marée basse) et 9m (marée haute). Un plein cycle de marées prend 13h. A minuit, la profondeur de l'eau est de 7,5m et la marée est montante.
- TRACE un graphique qui représente la profondeur de l'eau pendant la journée.
- IDENTIFIE l'amplitude, la période, le déphasage et le décalage.
- ÉTABLIS une formule qui décrit la profondeur de l'eau en fonction du temps écoulé depuis minuit.
- Si mon bateau a un tirant d'eau de 5m, DETERMINE les instants durant lesquelles la profondeur de l'eau sera égale à ce tirant d'eau.
- Bonus : Sur base de ces instants, DESSINE un cercle trigonométrique et identifie l'intervalle durant lequel la profondeur vaut AU MOINS 5m. Utilise des couleurs. Sur base de ce dessin, IDENTIFIE les heures durant lesquelles je pourrai accéder au port, au cours des prochaines 24h.
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